Question

某校举办一场篮球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个位置各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰．已知某选手在二分区投中球的概率为

4

5

，在三分区投中球的概率为

3

5

，在中场跳球区投中球的概率为

2

5

，且在各位置投球是否投进互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在比赛中投球的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．（注：本小题结果可用分数表示）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记“该选手能投进第i个球”的事件为A_i（i=1，2，3），则P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，由此能求了该选手被淘汰的概率．
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）记“该选手能投进第i个球”的事件为A_i（i=1，2，3），
则P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，
∴该选手被淘汰的概率
P=P（

.

A1

+A1

.

A2

+A1A2

.

A3

）
=

1

5

+

4

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

=

101

125

．
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，
P（ξ=1）=P（

.

A1

）=

1

5

，
P（ξ=2）=P（A1

.

A2

）=

4

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=3）=P（A₁A₂）=

4

5

×

3

5

=

12

25

．
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	1 5	8 25	12 25

∴Eξ=1×

1

5

+2×

8

25

+3×

12

25

=

57

25

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期限，是中档题，在历年高考中考都是必考题型．