Question

已知多面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，平面ABCD与平面ADE垂直，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，点G为边BC的中点，且AB=AD=2，CD=4，EF=3．
（1）求证：FG⊥平面ABCD；
（2）若∠ADC=120°，求二面角F-BD-E的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AD中点O，连接OG、OE，利用面ADE⊥面ABCD，证明EO⊥面ABCD，可证四边形OGFE为平行四边形，从而可得结论；
（2）建立空间坐标系，确定面BDE的法向量、面BDF的法向量，利用向量的夹角公式，可得结论．

解答： （1）证明：取AD中点O，连接OG、OE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴OE⊥AD…（1分）
∵平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，且OE?平面AED，
∴OE⊥平面ABCD…..（3分）
∵AB∥EF∥CD，且O、G分别是AD、BC的中点
∴OG∥EF，OG=3=EF，
∴四边形OGFE是平行四边形，
∴OE∥FG…..（4分）
∴FG⊥平面ABCD．…..（5分）
（2）解：连接OB，
在△ABD中，AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，即OB⊥AD．
由（1）知，OE⊥平面ABCD，分别以

OA

、

OB

、

OE

为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D（-1，0，0），E（0，0，1），
利用

DC

=2

AB

及

EF

=

3

2

AB

得C(-3，2

3

，0)、F(-

3

2

，

3 3

2

，1)，…．（6分）
设平面BDF的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

BF

=-

3

2

x+

3

2

y+z=0，

n

•

BD

=-x-

3

y=0，
令y=1，则x=-

3

，z=-2

3

，
即

n

=(-

3

，1，-2

3

)，|

n

|=4…（8分）
同理可求平面BDE的法向量为

m

=(-

3

，1，

3

)…（10分）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=-

7

14

…（11分）
∴二面角F-BD-E的正弦值为

189

14

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，确定平面的法向量是关键．