Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设线段A₁C与平面ABC₁D₁交于Q，求证：B、Q、D₁三点共线．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：ABC₁D₁是矩形，A₁BCD₁是矩形，由已知条件得Q是矩形A₁BCD₁对角线A₁C的中点，矩形A₁BCD₁另一对角线BD₁，必过Q点，由此能证明B、Q、D₁三点共线．

解答： 证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
ABC₁D₁是矩形，BD₁在矩形所在平面α内，
A₁BCD₁是矩形，BD₁在矩形的所在平面β内，
∴BD₁是平面α与平面β相交直线（平面α与平面α的交集）
∵A₁C与平面ABC₁D₁交于点Q，（直线与平面的交集）
∴Q是矩形A₁BCD₁对角线A₁C的中点，
矩形A₁BCD₁另一对角线BD₁，必过Q点．
（同矩形的二对角线只有一个交点且平分二对角线）
∴B、Q、D₁三点共线．

点评：本题考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．