Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（1）若cos（α+

π

3

）=-

11

13

，求x₁的值；
（2）若B（x₂，y₂）也是单位圆O上的点，且∠AOB=

π

3

．过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．设f（α）=S₁+S₂，求函数f（α）的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数的定义有x₁=cosα，求得sin(α+

π

3

)=

4 3

13

，根据x1=cosα=cos[(α+

π

3

)-

π

3

]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．
（2）求得得S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α，S₂=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．可得f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)，化简为

3

4

sin（2α-

π

6

）．再根据 2α-

π

6

的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（α）取得最大值

解答： 解：（1）由三角函数的定义有x₁=cosα，
∵cos（α+

π

3

）=-

11

13

，α∈（

π

6

，

π

2

），∴sin(α+

π

3

)=

4 3

13

，
∴x1=cosα=cos[(α+

π

3

)-

π

3

]=cos(α+

π

3

)cos

π

3

+sin(α+

π

3

)sin

π

3

=-

11

13

•

1

2

+

4 3

13

•

3

2

=

1

26

．
（2）由y₁=sinα，得S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α．
由定义得x2=cos(α+

π

3

)，y2=sin(α+

π

3

)，
又 由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
于是，S2=-

1

2

x2y2=-

1

2

cos(α+

π

3

)sin(α+

π

3

)=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．
∴f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)=

1

4

sin2α-

1

4

(sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

)
=

3

8

sin2α-

3

8

cos2α=

3

4

(

3

2

sin2α-

1

2

cos2α)=

3

4

sin（2α-

π

6

）．
再根据 2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），可得当2α-

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

时，函数f（α）取得最大值

3

4

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．