Question

求下列函数的值域：
（1）y=x+

16

x

（8≤x≤16）；
（2）y=

x

2

+

2

x

（0＜x≤1）；
（3）y=

x2+5

x2+4

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：前两个可先对函数求导数，在所给区间上判断导数的符号，从而判断函数在这一区间上的单调性．根据单调性就能求出函数的值域．第三个先要对原函数解析式变形，正好能变到能用上不等式：a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），从而求出函数的值域．

解答： 解：（1）∵8≤x≤16，∴y′=

x2-16

x2

＞0；
∴函数y=x+

16

x

在[8，16]上单调递增；
∴10≤y≤17；
∴函数y=x+

16

x

的值域是[10，17]．
（2）∵0＜x≤1，∴y′=

x2-4

2x2

＜0；
∴函数y=

x

2

+

2

x

在（0，1]上单调递减；
∴y≥

5

2

；
∴函数y=

x

2

+

2

x

的值域是[

5

2

，+∞）．
（3）令

x2+4

=t，(t≥2)则：
y=

t2+1

t

，y′=

t2-1

t

＞0
函数y=

t2+1

t

在[2，+∞）上单调递增；
∴y≥

5

2

；
∴该函数的值域是[

5

2

，+∞）．

点评：求导数，根据导数的符号判断函数的单调性，根据单调性求函数的值域，这是求值域常用方法，需熟练掌握．对于第三个函数解析式，通过观察解析式就应该想着做变形处理，并用上基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）．而要注意基本不等式中a，b的符号．