Question

13．求函数f（x）=x²-2ax+4在[0，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可．

解答 解：∵f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，对称轴是x=a，
当a＜0时，f（x）=x²-2ax+4在[0，2]上是增函数，故最小值g（a）=f（0）=4．
当a＞2时，f（x）=x²-2ax+4在[0，2]上是减函数，故最小值g（a）=f（2）=8-4a
当0≤a≤2时，f（x）=x²-2ax+4在[0，2]的最小值g（a）=f（a）=4-a²，
综上得，二次函数f（x）=x²-2ax+4在[0，2]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{a＜0}\\{4-{a}^{2}，}&{0≤a≤2}\\{8-4a，}&{a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式中带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论．