Question

3．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l的参考方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=10+3t}\\{y=4t}\end{array}\right.$．
（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求圆心C的极坐标；
（2）试求圆C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接求解圆的直角坐标方程，然后，确定圆心的直角坐标，再求解其极坐标；
（2）首先将所给的直线参数方程化为普通方程，然后，利用点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，即可得到最大值．

解答 解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，
∴（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圆心为（1，1），
它对应的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=10+3t}\\{y=4t}\end{array}\right.$．
∴4x-3y-40=0，
∵圆心到直线的距离为d=$\frac{|4-3-40|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=$\frac{41}{5}$，
∴圆C上的点到直线l的距离的最大值d+r=$\frac{41}{5}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了点的极坐标方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．