Question

17．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=90°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 运用向量的加减运算可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．再由MN是圆O的一条直径，三点共线的斜率表示，可得C在AB线段上，那么C在AB中点时，运用三角形AOB为等腰直角三角形，求得AB，可得OC的最小值，即可得到所求最小值．

解答 解由题意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．
由于MN是一条直径，可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值，问题就是求$\overrightarrow{OC}$²的最小值，
由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
可得C在AB线段上，那么C在AB中点时，
由三角形AOB为等腰直角三角形，可得AB=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$最小，
此时$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为$\frac{1}{2}$-0-1=-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三点共线的向量表示，两个向量的数量积的运算，考查运算能力，属于中档题．