Question

12．已知函数f（x）=|x+a²|+|x-a-1|．
（1）证明：f（x）≥$\frac{3}{4}$；
（2）若f（4）＜13，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，结合配方法，即可证明结论；
（2）f（4）＜13，可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{{a}^{2}+a+1＜13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{{a}^{2}-a+7＜13}\end{array}\right.$，即可求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x+a²|+|x-a-1|≥|x+a²-（x-a-1）|=|a²+a+1|=$（a+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$．
（2）解：f（4）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a+1，a≥3}\\{{a}^{2}-a+7，a＜3}\end{array}\right.$，
∵f（4）＜13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{{a}^{2}+a+1＜13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{{a}^{2}-a+7＜13}\end{array}\right.$，
∴-2＜a＜3．

点评 本题考查不等式的证明，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．