Question

7．已知各项均为整数的数列{a_n}中，a₁=2，且对任意的n∈N^*，满足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}，{a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}$-1，则a₂₀₁₇=2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 由满足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，可得a_n+2-a_n+1＜2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$，可得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1．又a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1．可得a_n+2-a_n=
3×2ⁿ．利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由满足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，
∴a_n+2-a_n+1＜2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$，∴a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1．
又a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1．
∴a_n+2-a_n=3×2ⁿ．
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）+（a₂₀₁₅-a₂₀₁₃）+…+（a₃-a₁）+a₁
=3×2²⁰¹⁵+3×2²⁰¹³+…+3×2¹+2
=3×$\frac{2（{4}^{1008}-1）}{4-1}$+2
=2²⁰¹⁷．
故答案为：2²⁰¹⁷．

点评 本题考查了“累加求和”方法、等比数列的求和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．