Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=$\sqrt{7}$，直线PC与平面ABCD所成角的正切为$\frac{1}{2}$．
（1）设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；
（2）求二面角B-PC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；
（2）以$\overrightarrow{OD}$所在方向为x轴，$\overrightarrow{OA}$所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2$\sqrt{3}$，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，由tan∠PCA$\frac{1}{2}$求得PA，利用向量求解

解答 解：（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点…（2分）
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC
因为E为直线PC上任意一点，所以AE?平面PAC，所以AE⊥BD…（5分）
（2）以$\overrightarrow{OD}$所在方向为x轴，$\overrightarrow{OA}$所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系
由题意，AC=2$\sqrt{3}$，OB=1，OD=2
又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，∴tan∠PCA$\frac{1}{2}$
所以PA=$\sqrt{3}$，所以B（-1，0，0），C（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
$\overrightarrow{BC}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CP}=（0，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$∴…（8分）
设平面BPC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CP}=2\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，有
解得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（\sqrt{3}，1，-2）$…（10分）
由（1），取平面PCA的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$．
所以cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
所以二面角B-PC-A的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$…（12分）

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求空间角，属于中档题．