Question

18．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对边分别为a，b，c，bsinCcosA-4csinAcosB=0．
（1）求证：tanB=4tanA；
（2）若tan（A+B）=-3，a=$\sqrt{10}$，b=5，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\frac{sinB}{cosB}=\frac{4sinA}{cosA}$，利用同角三角函数基本关系式可得tanB=4tanA．
（2）利用两角和的正切函数公式可得$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}=-3$，利用（1）并结合A为锐角，可求cosA，利用余弦定理可求c，利用B为锐角，即可得解．

解答 解：（1）证明：∵bsinCcosA-4csinAcosB=0，
∴bsinCcosA=4csinAcosB，
由正弦定理，得sinBsinCcosA=4sinCsinAcosB，即sinB•cosA=4sinA•cosB，
∴$\frac{sinB}{cosB}=\frac{4sinA}{cosA}$，即 tanB=4tanA．
（2）∵tan（A+B）=-3，
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}=-3$．
由（1）得∴$\frac{5tanA}{{1-4{{tan}^2}A}}=-3$，
∴A为锐角，
∴$tanA=\frac{3}{4}$，$cosA=\frac{4}{5}$．
∴${（{\sqrt{10}}）^2}=25+{c^2}-2×5c×\frac{4}{5}$，即c=5，或c=3．
由tanB=4tanA，知B为锐角，
所以c=3舍去，从而c=5．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．