Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的定义和通项公式可得a_n；运用数列的递推式：当n=1时，b₁=S₁，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，即可得到{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}={a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）因为a₁=1，a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又当n=1时，b₁=S₁=2-b₁，所以b₁=1，
当n≥2时，S_n=2-b_n…①，S_n-1=2-b_n-1…②
由①-②得b_n=-b_n+b_n-1，即$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
所以{b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
故${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，n∈N*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}={a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
则${T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{3}{2^1}+$$\frac{5}{2^2}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$①，
$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+$$\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-1}{2^n}$②，
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+$$\frac{2}{2^2}+…+$$\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$
=$1+1+\frac{1}{2}+$$…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$=$1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}$=$3-\frac{2n+3}{2^n}$．
所以${T_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．