Question

5．已知函数$f（x）=\frac{ax}{lnx}$．
（1）若f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线4x+y=0垂直，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若方程f（x）=1有两个不相等的实数解x₁，x₂，证明：x₁+x₂＞2e．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用切线斜率推出a，利用导函数的符号求解函数的单调区间即可．
（2）利用方程的解，通过化简求出a的表达式，利用分析法转化证明即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{a（lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$．
∴$f′（{e^2}）=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$．得：a=1，
∴$令f′（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}＜0$，得：x∈（0，1）∪（1，e）
即f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）
（2）证明：由$\left\{\begin{array}{l}ln{x_2}=a{x_2}\\ ln{x_1}=a{x_1}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}ln{x_1}-ln{x_2}=a（{x_1}-{x_2}）\\ ln{x_1}+ln{x_2}=a（{x_1}+{x_2}）\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵${x}_{1}+{x}_{2}＞2\sqrt{{x}_{1}•{x}_{2}}$，
只要证${x_1}{x_2}＞{e^2}?ln{x_1}+ln{x_2}＞2$
只需证$ln{x_1}+ln{x_2}=a（{x_1}+{x_2}）=（{x_1}+{x_2}）\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2$，不妨设x₁＞x₂
即证$ln\frac{x_1}{x_2}＞\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}，令\frac{x_1}{x_2}=t＞1$，
只需证$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}，g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}=lnt+\frac{4}{t+1}-2$，
则g（t）在（1，+∞）上单调递增，g（t）＞g（1）=0（t＞1），即证．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，分析法证明不等式以及函数方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．