Question

15．在△ABC中，关于x的方程（1+x²）sinA+2xsinB+（1-x²）sinC=0无实数根，则△ABC的形状为（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 先运用正弦定理，把角化为边，再将方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△=4b²-4（a-c）（a+c）＜0，即可判断三角形形状．

解答 解：由正弦定理，可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
则关于x的方程（1+x²）sinA+2xsinB+（1-x²）sinC=0，
即为（1+x²）a+2xb+（1-x²）c=0
方程整理为（a-c）x²+2bx+a+c=0，
根据题意得△=4b²-4（a-c）（a+c）＜0，
∴a²＞b²+c²，
∴cosA＜0
∴A为钝角，
故选B．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理，属于中档题．