Question

3．如图，约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{y≤-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}}\\{y≥-x+4}\\{y≥\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，若在可行域△ABC上有无穷多个点（x，y），使得目标函数z=x+my取得最小值，求m的值．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后对m分类讨论求得满足条件的m的值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}}\\{y≥-x+4}\\{y≥\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$作出可行域如图，

若m=0，目标函数为z=x，有最小值的点仅有A点，不合题意；
若m＞0，化目标函数z=x+my为y=-$\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$，由图可知，线段AC上的点均满足题意，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{x-2y-1=0}\end{array}\right.$，解得C（3，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{x+4y-13=0}\end{array}\right.$，解得A（1，3），
此时$-\frac{1}{m}={k}_{AC}=-1$，得m=1；
若m＜0，化目标函数z=x+my为y=-$\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$，由图可知，满足目标函数取得最小值的点仅有A点，不合题意．
∴满足条件的m值为1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．