Question

1．在测试中，客观题难度的计算公式为${P_i}=\frac{R_i}{N}$，其中P_i为第i题的难度，R_i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度Pi	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	4

（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设${P_i}^′$为第i题的实测难度，请用P_i和${P_i}^′$设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由20人中答对第5题的人数为4人，求出第5题的实测难度为0.2，由此能估计240人中实测答对人数．
（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．分别求出相应概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．由题设条件推导出该次测试的难度预估是合理的．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为$\frac{4}{20}=0.2$．[（2分）]
所以，估计240人中有240×0.2=48人实测答对第5题．[（3分）]
（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．[（4分）]$P（X=0）=\frac{{C_{16}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{12}{19}$；    $P（X=1）=\frac{{C_{16}^1C_4^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{32}{95}$；   $P（X=2）=\frac{C_4^2}{{C_{20}^2}}=\frac{3}{95}$．[（7分）]X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

[（8分）]$EX=0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}=\frac{38}{95}$．[（10分）]
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．
定义统计量$S=\frac{1}{n}[{（{P'_{1}}-{P_1}）^2}+{（{P'_{2}}-{P_2}）^2}+…+{（{P'_{n}}-{P_n}）^2}]$，其中P_i为第i题的预估难度．并规定：若S＜0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．[（11分）]$S=\frac{1}{5}[{（0.8-0.9）^2}+{（0.8-0.8）^2}+{（0.7-0.7）^2}+{（0.7-0.6）^2}+{（0.2-0.4）^2}]$=0.012．[（12分）]
因为 S=0.012＜0.05，
所以，该次测试的难度预估是合理的．[（13分）]
注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测
难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝
对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．