Question

8．四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$．
（1）求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S₁与S₂，求S₁²+S₂²的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，求出BD，即可求$\sqrt{3}$cosA-cosC的值；
（2）求出S₁²+S₂²的表达式，-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，即可求S₁²+S₂²的最大值．

解答 解：（1）在△ABD中，DB=$\sqrt{16-8\sqrt{3}cosA}$，
在△BCD中，DB=$\sqrt{8-8cosC}$，
所以$\sqrt{3}$cosA-cosC=1．
（2）依题意S₁²=12-12cos²A，S₂²=4-4cos²C，
所以S₁²+S₂²=12-12cos²A+4-4cos²C=-8cos²C-8cosC+12=-8（cosC+$\frac{1}{2}$）²+14，
因为2$\sqrt{3}-2＜BD＜4$，所以-8cosC∈（16-8$\sqrt{3}$，16）．
解得-1＜cosC＜$\sqrt{3}$-1，所以S₁²+S₂²≤14，当cosC=-$\frac{1}{2}$时取等号，即S₁²+S₂²的最大值为14．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．