Question

19．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，圆C₂：x²+y²=t经过椭圆C₁的焦点．
（1）设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C₂的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；
（2）过点M（-1，0）的直线l与曲线C₁，C₂自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意的焦点坐标，求得t的值，则丨PO丨∈[2，$\sqrt{6}$]，利用三角形的面积公式，即可求得△POQ面积的取值范围；
（2）将直线l的方程，代入椭圆方程及圆的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线直线l的方程．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点坐标为（±$\sqrt{2}$，0），则t=2，…（1分）
设P（x，y），则丨PO丨=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4-\frac{2}{3}{x}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{{x}^{2}}{3}}$，
由x²∈[0，6]，则丨PO丨∈[2，$\sqrt{6}$]，…（3分）
则△POQ面积S，S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{丨PO{丨}^{2}-2}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
△POQ面积的取值范围[1，$\sqrt{2}$]；…（5分）
（2）设直线l的方程为：x=my-1；
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得（2m²+3）y²-4my-10=0，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$…（7分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0，
设B（x₃，y₃），D（x₃，y₄），则y₃+y₄=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，…（9分）
又丨AB丨=丨CD丨，则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，即y₃-y₁=y₂-y₄，…（10分）
从而y₁+y₂=y₃+y₄，即$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，解得m=0，
∴直线l的方程为x=-1．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．