Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=$\sqrt{7}$，PB=3．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A-BD-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP=$\sqrt{3}$，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{6}$．可得OB²+OP²=9=PB²，从而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥面ABCD．
（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．

解答 解：（1）取AD中点O，连结OP，OB，
∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP=$\sqrt{3}$，OP⊥AD，
又AB=AD=$\sqrt{7}$，∴OB⊥AD，且OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{6}$．
于是OB²+OP²=9=PB²，从而OP⊥OB．
所以OP⊥面ABCD，而OP?面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．
（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．
由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，$\sqrt{6}$，0），C（-2，$\sqrt{6}$，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），Q（-1，$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{DB}=（1，\sqrt{6}，0）$，$\overrightarrow{DQ}=（0，\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
设面BDQ的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{6}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DQ}=\frac{\sqrt{6}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{6}，1，-\sqrt{2}）$．
面ABD的法向量是$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∵二面角A-BD-Q是钝角，∴二面角A-BD-Q的余弦值为-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求面面角，属于中档题．