Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n，且a₃=7，S₁₁=143，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的通项公式和前n项和公式求得该数列的首项和公差即可；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）的通项公式求得数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和法求T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₃=7，S₁₁=143，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{11{a}_{1}+\frac{11×（11-1）}{2}d=143}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n+1；
（Ⅱ）因为a_n=2n+1，
所以b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2×4ⁿ+2n，
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（4+4²+4³+…+4ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{8}{3}$×4ⁿ+n²+n-$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．