Question

4．设等差数列{a_n}满足sina₄cosa₇-cosa₄sina₇=1，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，求该数列首项a₁的取值范围（　　）

• A． $（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$
• B． $[{\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}}]$
• C． $（\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}）$
• D． $[{\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}}]$

Answer 1

分析 由已知条件推导出sin（a₄-a₇）=1，d=-$\frac{π}{6}$，由当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，推导出8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}$＜9.5．由此能求出该数列首项a₁的取值范围．

解答 解：∵sina₄cosa₇-cosa₄sina₇=1，
∴sin（a₄-a₇）=1，
∵a₄-a₇=-3d∈（0，3），a₄-a₇=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴-3d=$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{6}$．
∵S_n=$\frac{d}{2}{n}^{2}$+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}$＜9.5，化为$\frac{4π}{3}$＜a₁＜$\frac{3π}{2}$，
故选：C．

点评 本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、考查等差数列的前n项和，属于中档题．