Question

12．已知数列{a_n}和{b_n}（b_n≠0，n∈N^*），满足a₁=b₁=1，a_nb_n+1-a_n+1b_n+b_n+1b_n=0
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，证明数列{c_n}是等差数列，并求{c_n}的通项公式
（2）若b_n=2^n-1，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}和{b_n}（b_n≠0，n∈N^*），满足a₁=b₁=1，a_nb_n+1-a_n+1b_n+b_n+1b_n=0，又c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=1，即可证明；
（2）利用错位相减法求和即可．

解答 （1）证明：由a_nb_n+1-a_n+1b_n+b_n+1b_n=0，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1，
因为c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
所以c_n+1-c_n=1，
所以数列{c_n}是等差数列，所以{c_n}=n；
（2）由b_n=2^n-1得a_n=n•2^n-1，
所以S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1×2¹+2×2²+3×3³+…+n•2ⁿ，②
由②-①，得S_n=2ⁿ（n-1）+1．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减求和法是解决本题的关键．