Question

1．若三棱锥S-ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=$\frac{π}{3}$，则球O的表面积为20π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC=2$\sqrt{3}$，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=$\frac{1}{2}$AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．

解答 解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴BC=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²=BC²+AB²，∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴球O的半径R=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面积S=4πR²=20π．
故答案为：20π．

点评 本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．