Question

11．已知函数f（x）=（x²-x-$\frac{1}{a}$）e^ax（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax．
利用导数可得函数f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上递增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）递减．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．即函数y=f（x）的最小值为f（1）．
（2）存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立?函数y=f（x）图象与y=-$\frac{3}{a}$＜（-$\frac{3}{a}$0）有唯一交点，结合图象且仅当-$\frac{1}{a}{e}^{a}=-\frac{3}{a}$时，存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，
即可求得实数a的值．

解答 解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax．
令f′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{2}{a}$＜0，
当x∈（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-$\frac{2}{a}$，1）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上递增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）递减．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．
∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$．
（2）存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立?函数y=f（x）图象与y=-$\frac{3}{a}$＜（-$\frac{3}{a}$0）有唯一交点，
结合（1）可得函数f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）上递增，在∈（-$\frac{2}{a}$，1）递减．
注意到x＜-$\frac{2}{a}$，x²-x-$\frac{1}{a}$＞0，f（1）=-$\frac{{e}^{a}}{a}$＜0．
∴当且仅当-$\frac{1}{a}{e}^{a}=-\frac{3}{a}$时，存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立，
即a=ln3时，存在唯一实数x₀，使得f（x₀）+$\frac{3}{a}$=0成立．

点评 本题考查了导数的综合应用，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．