Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{2n+3}{n}$S_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得${S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{2n+3}{n}{S}_{n}$，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}=3•\frac{{S}_{n}}{n}$，结合$\frac{{S}_{1}}{1}=1$，可得数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）由（1）可得S_n，然后利用错位相减法求得数列{S_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：由a_n+1=$\frac{2n+3}{n}$S_n，得${S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{2n+3}{n}{S}_{n}$，
整理得：nS_n+1=3（n+1）S_n，∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}=3•\frac{{S}_{n}}{n}$，
又$\frac{{S}_{1}}{1}=1$，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项，以3为公比的等比数列；
（2）解：由（1），得$\frac{{S}_{n}}{n}={3}^{n-1}$，即${S}_{n}=n•{3}^{n-1}$．
∴${T}_{n}=1×{3}^{0}+2×{3}^{1}+…+n×{3}^{n-1}$，
$3{T}_{n}=1×{3}^{1}+2×{3}^{2}+…+n×{3}^{n}$，
两式作差可得：$-2{T}_{n}=（{3}^{0}+{3}^{1}+…+{3}^{n-1}）-n×{3}^{n}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-n×{3}^{n}=\frac{（1-2n）{3}^{n}-1}{2}$．
∴${T}_{n}=\frac{（2n-1）{3}^{n}+1}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．