Question

4．对于函数f（x）=xlnx有如下结论：
①该函数为偶函数；
②若f′（x₀）=2，则x₀=e；
③其单调递增区间是[$\frac{1}{e}$，+∞）；
④值域是[$\frac{1}{e}$，+∞）；
⑤该函数的图象与直线y=-$\frac{1}{e}$有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）
其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）

Answer 1

分析 求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．

解答 解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；
f′（x）=lnx+1，令f′（x₀）=2，即lnx₀+1=2，解得：x₀=e，故②正确；
令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，
解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的单调递增区间是[$\frac{1}{e}$，+∞），故③正确；
由f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
得：f（x）的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
故f（x）的值域是[-$\frac{1}{e}$，+∞），故④错误；
故该函数的图象与直线y=-$\frac{1}{e}$有且只有一个公共点，⑤正确；
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．