Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n（t＞0且t≠1，n∈N^*）
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式（用t，n表示）
（2）当t=2时，令c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，证明$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=t-1，a_n+1+1=t（a_n+1），由此能证明{a_n+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）${c}_{n}=\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用裂项求和法求出T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，由此能证明$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n（t＞0且t≠1，n∈N^*），
∴由题意当n=1时，a₁=t-1，…（2分）
∵S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n，①
∴S_n+1=$\frac{t}{t-1}$a_n+1-（n+1），②
②-①得a_n+1=ta_n+t-1，即a_n+1+1=t（a_n+1），
∴{a_n+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列   …（4分）
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}={t}^{n}-1$．…（6分）．
（2）${c}_{n}=\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．…（8分）
令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}-\frac{1}{15}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．…（10分）
∵T_n单调递增，∴当n=1时，（T_n）_min=$\frac{2}{3}$，当n趋向无穷大时，T_n趋近1．
∴$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．…（12分）

点评 本题考查等比数列定义、通项公式、裂项求和法等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．