Question

6．已知数列满足：${a_1}=1，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1，（{n∈{N^*}}）$，若${b_{n+1}}=（{n-λ}）（{\frac{1}{a_n}+1}）$，b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比为2，再代值得到b_n+1=（n-λ）•2ⁿ，根据数列的单调性即可求出λ的范围．

解答 解：∵${a_1}=1，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1，（{n∈{N^*}}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+2
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比为2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，
∴b₂＞b₁，
∴（1-λ）•2＞-λ，
解得λ＜2，
故答案为：λ＜2

点评 本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．