Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求过点A（2，2）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=-3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；
（2）设切点，求切线方程，得到2=-2x₀³+6x₀²-6，解方程可得x₀，运用点斜式方程，进而得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+bx²+cx的导数为f'（x）=3ax²+2bx+c，
依题意$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f′（-1）=3a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
又f'（0）=-3即c=-3
∴a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）设切点为（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3∴切线的斜率为f'（x₀）=3x₀²-3，
∴切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀），
又切线过点A（2，2），
∴2-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀），
∴2x₀³-6x₀²+8=0，即为2（x₀+1）（x₀-2）²=0，
解得x₀=-1或2，
可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，
即有过点A（2，2）的切线方程为y-2=0或y-2=9（x-2），
即为y-2=0或9x-y-16=0．

点评 此题是中档题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，和利用导数研究曲线上某点的切线问题，体现了数形结合和转化的思想，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．