Question

8．已知函数f（x）=cosωx•sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），且函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值及f（x）的对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，对称中心到它对称轴的最近距离为$\frac{π}{4}$，可得周期T，从而求出ω．结合三角函数的图象和性质，可得f（x）的对称轴方程；
（2）根据f（A）=0，求解出A角的大小，sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，根据正弦定理可得b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=cosωx•sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²ωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），
=$\frac{1}{4}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2ωx=$\frac{1}{2}$sin（2ωx$+\frac{π}{3}$）
∵函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为$\frac{π}{4}$．
∴T=4×$\frac{π}{4}$=π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
故得ω=1．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$），
对称轴方程：2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴f（x）的对称轴方程为：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）∵f（A）=0，即sin（2A$+\frac{π}{3}$）=0，
∴2A$+\frac{π}{3}$=kπ，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得：$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{4}{5}}$，解得：b=$\frac{2}{5}$．
故得b的值为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用以及正弦定理的计算，求解出f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．