Question

10．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的对称性和已知可得g（0）=1，从而求得不等式f（x）＞e^x的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$．
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴函数g（x）是R上的减函数，
∵函数f（x+3）是偶函数，
∴函数f（-x+3）=f（x+3），∴函数关于x=3对称，∴f（0）=f（6）=1，
原不等式等价为g（x）＞1，∴不等式f（x）＜e^x等价g（x）＞1，即g（x）＞g（0），
∵g（x）在R上单调递减，∴x＜0．
∴不等式f（x）＞e^x的解集为（-∞，0）．
故选：A

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，属于中档题