Question

5．过点O（0，0）作直线与圆（x-4$\sqrt{5}$）²+（y-8）²=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{15}{32}$
• C． $\frac{9}{32}$
• D． $\frac{7}{32}$

Answer 1

分析 利用圆的标准方程求出圆的圆心及半径，求出当直线与圆心和（0，0）连线垂直时的弦长即最短的弦长，求出直径即最大的弦长，求出最大弦长与最小弦长之间的所有的直线条数，选出长度不超过14的直线条数，利用古典概型概率公式求出概率．

解答 解：（x-4$\sqrt{5}$）²+（y-8）²=169的圆心为（4$\sqrt{5}$，8），半径为13，
∵（0，0）在圆的内部且圆心与（0，0）的距离为12
∴过点O（0，0）作的直线中，最短的弦是直线与圆心和（0，0）连线垂直
最短的弦长为2$\sqrt{169-144}$=10，
过点O（0，0）作的直线中，最长的弦是直径，其长为26
弦长均为整数的所有直线的条数有2×（25-10）+2=32
其中长度不超过14的有：10，11，11，12，12，13，13，14，14共9条
所以长度不超过14的概率为$\frac{9}{32}$．
故选C．

点评 求直线的最小弦长、最大弦长问题一般利用圆的几何性质：当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，当直线是圆的直径时，弦长最大．