Question

15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}a，c}），\overrightarrow n=（{sinA，cosC}），\overrightarrow m=3\overrightarrow n$．
（1）求C；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量条件，结合正弦定理求C；
（2）确定$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，用A表示三角形的周长，即可求△ABC周长的取值范围．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow m=3\overrightarrow n$，则$\sqrt{3}acosC=csinA$，
由正弦定理知：$\sqrt{3}sinAcosC=sinCsinA$，所以$tanC=\sqrt{3}$，得$C=\frac{π}{3}$
（2）∵$C=\frac{π}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a=3sinA\\ c=3cosC\end{array}\right.⇒$$c=\frac{3}{2}$，
又△ABC为锐角三角形，则$\left\{\begin{array}{l}A+C＞\frac{π}{2}\\ C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，则$a=\sqrt{3}sinA$，$b=\sqrt{3}sinB$，所以，$a+b+c=\sqrt{3}（{sinA+sinB}）+\frac{3}{2}=\sqrt{3}[{sinA+sin（{A+\frac{π}{3}}）}]+\frac{3}{2}$，
化简得：$a+b+c=3sin（{A+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}（{\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}}）$，
则$\frac{{3\sqrt{3}+3}}{2}＜a+b+c≤\frac{9}{2}$

点评 本题考查正弦定理的运用，考查向量、三角函数知识的运用，属于中档题．