Question

3．设P为△ABC所在平面上一点，且满足$3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{AB}$（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为14．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，即有D在线段AC上，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的$\frac{7}{4}$倍，故S_△ABC=$\frac{7}{4}$S_△ABP，结合已知中△ABP的面积为8，即可得到答案．

解答 解：由3$\overrightarrow{PA}$+4$\overrightarrow{PC}$=m$\overrightarrow{AB}$，
可得$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，
可设$\overrightarrow{PD}$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$，
则D，A，C共线，且D在线段AC上，
可得$\overrightarrow{PD}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，
即有D分AC的比为4：3，
即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的$\frac{7}{4}$倍，
故S_△ABC=$\frac{7}{4}$S_△ABP=$\frac{7}{4}$×8=14．
故答案为：14．

点评 本题考查向量共线定理的运用，以及三点共线的坐标表示，考查三角形的面积的求法，注意运用比例法，考查运算能力，属于中档题．