Question

13．如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D（不为原点）．
（Ⅰ）求点D的轨迹方程；
（Ⅱ）若点D坐标为（2，1），求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点A的坐标（x₁，y₁），点B的坐标（x₂，y₂），点D的坐标为（x₀，y₀）（x₀≠0），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此入手能求出点D的方程．
（Ⅱ）点D（2，1）代入方程x²+y²-2px=0，能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设点A的坐标（x₁，y₁），点B的坐标（x₂，y₂），点D的坐标为（x₀，y₀）（x₀≠0），
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0．…（2分）
由已知，得直线AB的方程为${y_0}y=-{x_0}x+x_0^2+y_0^2$．…（3分）
又有$y_1^2=2p{x_1}，y_2^2=2p{x_2}，y_1^2y_2^2=（2p{x_1}）（2p{x_2}），{x_1}{x_2}=\frac{y_1^2y_2^2}{{4{p^2}}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0得${y_1}{y_2}+4{p^2}=0$．…（4分）
把${y_0}y=-{x_0}x+x_0^2+y_0^2$代入y²=2px并消去x得${x_0}{y^2}+2p{y_0}y-2p（x_0^2+y_0^2）=0$，
得${y_1}{y_2}=\frac{-2p（x_0^2+y_0^2）}{x_0}$，…（6分）
代入${y_1}{y_2}+4{p^2}=0$
得$x_0^2+y_0^2-2p{x_0}=0（{x_0}≠0）$，…（8分）
故所求点D的轨迹方程为x²+y²-2px=0（x≠0）．…（10分）
（Ⅱ）把x=2，y=1代入方程x²+y²-2px=0中，得$p=\frac{5}{4}$．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线、抛物线的性质的合理运用．