Question

3．设函数f（x）=x²-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a（其中e为自然对数的底数，若函数f（x）至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，{e^2}-\frac{1}{e}}]$
• B． $（{0，{e^2}+\frac{1}{e}}]$
• C． $[{{e^2}-\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $（{-∞，{e^2}+\frac{1}{e}}]$

Answer 1

分析 令f（x）=0，求出a=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，构造函数h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，判断函数的单调性，根据函数单调性求出函数的最值．

解答 解：令f（x）=x²-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a=0，
则a=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}（{x＞0}）$，
设h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，
令h₁（x）=-x²+2ex，h₂（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴h₂′（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$，发现函数h₁（x），h₂（x）在（0，e）上都是单调递增，在[e，+∞）上都是单调递减，
∴函数h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
故当x=e时，得h（x）_min=e²+$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）至少存在一个零点需满足a≤h（x）_max，
即a≤e²+$\frac{1}{e}$．
故选：D．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．