Question

8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，设平面向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinC），$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$所成的夹角为120°．
（1）求A的值．
（2）若△ABC的面积S=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，sinC=2sinB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的夹角公式及两角和的余弦公式的逆运用，即可求得cosA=$\frac{1}{2}$，求得A；
（2）利用正弦定理求得c=2b，根据三角形的面积公式求得bc=$\frac{32}{3}$，即可求得b和c的值，利用余弦定理即可求得a的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$所成的夹角为θ，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{m}丨丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{cosBcosC-sinBsinC}{\sqrt{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B}•\sqrt{co{s}^{2}C+（-sinC）^{2}}}$=cos（B+C）=-cosA，
由cosθ=-$\frac{1}{2}$，则cosA=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，A=$\frac{π}{3}$，
∴A的值$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R．
则sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
由sinC=2sinB，则c=2b，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，即bc=$\frac{32}{3}$，
解得：b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，c=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bcosA=16，
则a=4，
∴a的值4．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．