Question

17．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}}）$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由题意可知E是PF的中点，OE为△FF′P的中位线，根据三角形中位线定理及双曲线的定义，即可求得a与b的关系，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$焦点在x轴上，焦点F′（c，0），
则|OF|=c，|OE|=a，
∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}}）$，则E是PF的中点，OE为△FF′P的中位线，
则|PF|=2丨EF丨=2b，|PF'|=2a，
∵由双曲线的定义：|PF|-|PF'|=2a，则b=2a，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
故选B．

点评 本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．