Question

20．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{x-y≥-1}\\{y≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域被直线z=x-y分成面积相等的两部分，则z的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1-2$\sqrt{2}$
• D． 1$-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域面积的关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（-1，0），B（1，0），C（0，1），则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
若不等式组所表示的平面区域被直线z=x-y分成面积相等的两部分，
则三角形BDE的面积S=$\frac{1}{2}$，
当y=0时，x=z，则-1≤z≤1，即D（z，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=z}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+z}{2}}\\{y=\frac{1-z}{2}}\end{array}\right.$，即E的纵坐标为y=$\frac{1-z}{2}$，
则三角形BDE的面积S=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-z）•$\frac{1-z}{2}$，
得（1-z）²=2，则1-z=±$\sqrt{2}$，
即z=1±$\sqrt{2}$，
∵-1≤z≤1，∴z=1-$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．