Question

20．设n≥2，n∈N^*，有序数组（a₁，a₂，…，a_n）经m次变换后得到数组（b_m，1，b_m，2，…，b_m，n），其中b_1，i=a_i+a_i+1，b_m，i=b_m-1，i+b_m-1，i+1（i=1，2，…，n），a_n+1=a₁，b_m-1，n+1=b_m-1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．
（1）若a_i=i（i=1，2，…，n），求b_3，5的值；
（2）求证：b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n．
（注：i+j=kn+t时，k∈N^*，i=1，2，…，n，则a_i+j=a₁）

Answer 1

分析 （1）根据新定义，分别进行1次，2次，3次变化，即可求出答案，
（2）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），
第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），
第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），
第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），
∴b_3，5=52，
（2）用数学归纳法证明：对m∈N^*，b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n，
（i）当m=1时，b_1，i=$\sum_{i=0}^{1}$a_i+jC₁^j，其中i=1，2，…，n，结论成立，
（ii）假设m=k时，k∈N^*时，b_k，i=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j，其中i=1，2，…，n，
则m=k+1时，b_k+1，i=b_k，i+b_k，i+1=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+j+1C_k^j=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j+$\sum_{j=0}^{k+1}$a_i+j+1C_k^j-1，
=a_iC_k⁰+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+j（C_k^j+C_k^j-1）+a_i+k+1C_k^k，
=a_iC_k+1⁰+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k+1^j+a_i+k+1C_k+1^k+1，
=$\sum_{j=0}^{k+1}$a_i+jC_k+1^j，
所以结论对m=k+1时也成立，
由（i）（ii）可知，对m∈N^*，b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n成立

点评 本题考查了新定义和数学归纳法，考查了学生的解决问题和分析问题的能力，属于难题．