Question

1．${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$的展开式中，x³的系数是28．（用数字填写答案）

Answer 1

分析 根据${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$表示4个因式$（{x+2\sqrt{x}+1}）$的乘积，利用组合的知识，分类讨论，求得x³的系数．

解答 解：∵${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$表示4个因式$（{x+2\sqrt{x}+1}）$的乘积，
x³的系数可以是：从4个因式中选三个因式提供x，另一个因式中有一个提供1；
也可以是从3个因式中选两个因式都提供x，其余的两个提供$2\sqrt{x}$，可得x³的系数，
故x³的系数为：$C_4^3+C_4^2•{2^2}=28$，
故答案为：28．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式表示的意义，属于基础题．