Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，根据正弦定理即可求得$cosC=\frac{1}{2}$，即可求得角C的大小；
（Ⅱ）由题意sinA+sinB=$sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）$，根据两角差的正弦公式即可求得sinA+sinB=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，根据A的取值范围，即可求得sinA+sinB的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 由 atanC=2csinA，
得 $\frac{a}{c}•\frac{sinC}{cosC}=2sinA$．[（1分）]
由正弦定理得 $\frac{sinA}{sinC}•\frac{sinC}{cosC}=2sinA$．[（3分）]
所以 $cosC=\frac{1}{2}$．[（4分）]
因为 C∈（0，π），[（5分）]
所以 $C=\frac{π}{3}$．[（6分）]
（Ⅱ） sinA+sinB=$sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）$，[（7分）]
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA$，[（8分）]
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$．[（9分）]
因为 $C=\frac{π}{3}$，所以 $0＜A＜\frac{2π}{3}$，[（10分）]
所以 $\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，[（11分）]
所以 $\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，[（12分）]
所以 sinA+sinB的取值范围是$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$．[（13分）]

点评 本题考查三角函数的性质，两角差的正弦公式，正弦定理，考查计算能力，属于中档题．