Question

11．在平面直角坐标系xOy中，C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）说明C₂是哪种曲线，并将C₂的方程化为普通方程；
（2）C₁与C₂有两个公共点A，B，定点P的极坐标$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）C₂是圆，利用极坐标方程与普通方程转化方法，将C₂的方程化为普通方程；
（2）利用参数的几何意义，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．

解答 解：（1）C₂是圆，C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化为普通方程：x²+y²-2x-3=0，即：（x-1）²+y²=4．
（2）定点P的平面直角坐标为（1，1），在直线C₁上，
将C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入x²+y²-2x-3=0中，
化简得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．设两根分别为t₁，t₂，
由韦达定理知：t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=3，
所以AB的长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{2+12}$=$\sqrt{14}$，
定点P到A，B两点的距离之积|PA||PB||=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．