Question

19．已知数列{α_n}满足${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}=（{1+{{cos}^2}\frac{nπ}{2}}）{a_n}+{sin^2}\frac{nπ}{2}$，则该数列的前21项的和为2112．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，可得a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂=4，…，a_2k-1=a_2k-3+1，a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．因此数列{a_2k-1}成等差数列，数列{a_2k}成等比数列．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，
∴a₃=a₁+1=2，
a₄=2a₂=4，
…，
a_2k-1=a_2k-3+1，
a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．
∴数列{a_2k-1}成等差数列，数列{a_2k}成等比数列．
∴该数列的前21项和为=（a₁+a₃+…+a₂₁）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=（1+2+…+11）+（2+2²+…+2¹⁰）
=$\frac{11×（1+11）}{2}$+$\frac{2（{2}^{10}-1）}{2-1}$=66+2¹¹-2=212．
故答案为：2112．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．