Question

10．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，与过F₁的直线交于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，那么椭圆C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 根据题意，作出椭圆的图形分析可得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=16，解可得a的值，又由其离心率可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，如图：
△ABF₂的周长为16，则有|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=16，则a=4，
又由其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=16-8=8；
又由其焦点在x轴上，则其标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
故选：A．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是由△ABF₂的周长求出a的值．属于中档题．