Question

6．已知双曲线$C：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的左右两个顶点是A₁，A₂，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A₁P与A₂Q交于点M，
（1）求动点M的轨迹D的方程；
（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足$\overrightarrow{EA}=λ\overrightarrow{EB}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求得A₁P与A₂Q的方程，两式相乘，化简整理即可求得动点M的轨迹D的方程；
（2）当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利益韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由已知A₁（-2，0），A₂（2，0），设$P（{t，\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{2}}）．Q（{t，-\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{2}}）$
则直线${A_1}P：y=\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{{2（{t+2}）}}（{x+2}）$，
直线${A_2}Q：y=\frac{{-\sqrt{{t^2}-4}}}{{2（{t-2}）}}（{x-2}）$，
两式相乘得${y^2}=\frac{-1}{4}（{{x^2}-4}）$，化简得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
即动点M的轨迹D的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）过E（0，2）的直线若斜率不存在则$λ=\frac{1}{3}$或3，
设直线斜率k存在，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.⇒（{1+4{k^2}}）{x^2}+16kx+12=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}△≥0（1）\\{x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}（2）\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}（3）\\{x_1}=λ{x_2}（4）\end{array}\right.$
由（2）（4）解得x₁，x₂代入（3）式得$\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}•{（{\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}}）^2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$，
化简得$\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}=\frac{3}{64}（{\frac{1}{k^2}+4}）$，
由（1）△≥0解得${k^2}≥\frac{3}{4}$代入上式右端得，$\frac{3}{16}＜\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}≤\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{3}＜λ＜3$，
综上实数的取值范围是$[{\frac{1}{3}，3}]$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标，考查计算能力，属于中档题．