Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，则函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数是3．

Answer 1

分析 令f（x）=t，函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数问题?f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根的个数问题．结合图象可得f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根t₁＜0，t₂∈（1，2）．f（x）=t₁无解，f（x）=t₂有3解，解得得到函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数

解答 解：令f（x）=t，函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数问题?f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根的个数问题．
即y=f（t），y=2t+$\frac{3}{2}$的图象如图（1），结合图象可得f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根t₁＜0，t₂∈（1，2）．
f（x）=t₁无解，f（x）=t₂有3解，
综上，函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数是3．
故答案为：3

点评 本题考查了复合函数零点问题，解题的关键是合理利用换元思想求解，属于中档题．