Question

17．已知无穷数列{a_n}，满足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*；
（1）若a₁=1，a₂=2，求数列前10项和；
（2）若a₁=1，a₂=x，x∈Z，且数列{a_n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；
（3）求证：在数列{a_n}中，存在k∈N^*，使得0≤a_k＜1．

Answer 1

分析 （1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和；
（2）讨论x=1，2，3，…，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值；
（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证．

解答 解：（1）数列{a_n}，满足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*；a₁=1，a₂=2，
则a₃=1，a₄=1，a₅=0，a₆=1，a₇=1，a₈=0，a₉=a₁₀=1．
∴数列前10项和S₁₀=1+2+6=9．
（2）当x=1时，数列数列{a_n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017项中恰好含有672项为0；
当x=2时，数列数列{a_n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017项中恰好含有671项为0；
当x=3时，数列数列{a_n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017项中恰好含有671项为0；
当x=4时，数列数列{a_n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…
所以在前2017项中恰好含有670项；
当x=5时，数列数列{a_n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017项中恰好含有670项为0；
…
由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；
当x=-1141或x=-1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；
（3）证明：假设数列{a_n}中不存在a_k（k∈N^*），使得0≤a_k＜1，
则a_k＜0或a_k≥1（k=1，2，3，…）．
由无穷数列{a_n}，满足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*，
可得a_k≥1，由于无穷数列{a_n}，对于给定的a₁，a₂，总可以相减后得到0，
故假设不成立．
在数列{a_n}中，存在k∈N^*，使得0≤a_k＜1．

点评 本题考查了数列求和、分类讨论、反证法的运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．