Question

12．如图，圆柱有一个高6$\sqrt{2}$cm，体积为54$\sqrt{6}$cm³的内接正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
求：（1）圆柱的体积；
（2）AC₁与正三棱柱的侧面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）设出正三棱柱的底面边长，由体积求出底面边长，利用正弦定理求得圆柱的底面半径，则圆柱体积可求；
（2）取A₁B₁ 中点O，连接AO，C₁O，则∠AOC₁为直线AC₁与平面ABB₁A₁所成角．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：（1）设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，则底面积为S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴$V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×6\sqrt{2}=54\sqrt{6}$，解得：a=6．
设圆柱的底面半径为r，则$\frac{a}{sin60°}=2r$，即$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，得r=2$\sqrt{3}$．
∴圆柱的底面积为$π•（2\sqrt{3}）^{2}=12π$，
则圆柱的体积为V=12$π×6\sqrt{2}=72\sqrt{2}π$；
（2）由（1）知，正三棱柱底面边长为6，侧棱长为$6\sqrt{2}$，
取A₁B₁ 中点O，连接AO，C₁O，则∠AOC₁为直线AC₁与平面ABB₁A₁所成角．
在Rt△OAC₁中，AO=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}=9$，$O{C}_{1}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，
∴tan∠OAC₁=$\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AC₁与正三棱柱的侧面ABB₁A₁所成角的大小为30°．

点评 本题考查线面角及多面体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．